Matemática

Expressões matemáticas

Quando você quer escrever alguma coisa matemática, que pode ser uma equação ou uma simples variável, você deve colocar \( para iniciar a expressão matemática e \) para fechá-la.

Exemplos de expressões matemáticas: \( x \) e \( x + y = 3 \)

Percebam que, dessa forma, as expressões matemáticas ficam inline, ou seja, na mesma linha do restante do texto. Se você quiser escrever alguma coisa que fique em destaque, em uma linha própria e centralizado, o que é útil para escrever um sistema de equações, por exemplo, você pode escrever \[ para iniciar a expressão matemática e \] para fechá-la:

\[
    x + y  = 7
    2x - y = 5
\]

Não coloque coisas que não forem matemáticas, dentro de comandos de expressões matemáticas. Exemplo:

Errado: \(x e y\)

Certo: \(x\) e \(y\)

Se você quiser usar texto dentro de uma expressão matemática, use comandos de fontes específicos para uso em expressões matemáticas. Exemplo:

\(x\ \mathrm{e}\ y\)

Note a necessidade do uso da barra invertida para que os espaços sejam impressos.

Você pode querer numerar expressões matemáticas que ficam em destaque, para que você possa referenciá-las. Para fazer isso, use o ambiente equation, colocando nele a expressão em si e um nome para ela no \label.

\begin{equation}
    x + 5 = 3
    \label{equacao-polinomial-do-primeiro-grau}
\end{equation}

\begin{equation}
    x^2 -5x + 6 = 0
    \label{equacao-polinomial-do-segundo-grau}
\end{equation}

Para referenciar a expressão, é só usar o comando \ref{label-da-expressao}. Se você já viu o tutorial de referências cruzadas, vai entender facilmente, pois a lógica é a mesma. Exemplo:

Nesse documento, temos uma equação polinomial do 1º grau
(\ref{equacao-polinomial-do-primeiro-grau}) e uma equação polinomial do 2º grau
(\ref{equacao-polinomial-do-segundo-grau}).

Funções matemáticas

No LaTeX, quando você quiser escrever alguma função matemática, como log de logaritmo, e tan, de tangente, não escreva simplesmente log ou tan. O LaTeX vai entender que cada letra é uma variável e você está escrevendo um produto delas. Ao invés disso, use o comando da função (no caso, \log e \tan):

Logaritmo: \( \log_28 = 3 \)
        
Tangente: \( \tan 45^\circ = 1 \)

O underline serve para colocar um subscript, que é simplesmente algo que fica abaixo do texto que fica ao lado dele. O acento circunflexo serve para colocar um superscript, que é o contrário do subscript, ou seja, fica acima do texto que fica ao lado dele. Combinando o superscript com o comando \circ, consegue-se imprimir o círculo que é símbolo do grau, o que é útil no caso de comandos como o \tan, e outros, como \sec (para secante):

Secante: \( \sec 60^\circ = 2 \)

Símbolos matemáticos

Você pode precisar colocar símbolos matemáticos no seu documento. O LaTeX é muito completo quando o assunto é Matemática, então é muito difícil você não encontrar o símbolo que você precisa. Vale lembrar que o LaTeX também tem bons pacotes para outras áreas de Ciências Exatas, como Química e Física. Veja na imagem abaixo uma pequena parte dos símbolos cobertos pelo LaTeX:

Você pode encontrar muito mais símbolos aqui.

Unidades

Considere a marcação abaixo:

\( 10m \)

Se você escrever 10m, querendo dizer 10 vezes uma variável chamada m, ok, mas se você quer dizer 10 metros, então coloque o m com uma fonte romana usando o comando \mathrm e dê um espaço entre o 10 e o m usando \,:

\( 10\,\mathrm{m} \)

Delimitadores

É comum que você queira usar delimitadores ao escrever um documento matemático. Para colocar parênteses, basta colocar a expressão que se quer envolver dentro de parênteses:

\( (x + 2) \div 2 = 7 \)

A altura dos delimitadores pode não bater com a altura da expressão envolvida. Isso causa um efeito indesejado:

\( (\frac{x^2}{y^3}) \)

Para corrigir isso, é só colocar \left antes do primeiro delimitador e \right antes do segundo:

\( \left(\frac{x^2}{y^3}\right) \)

Há outros delimitadores:

\( \left[\frac{x^2}{y^3}\right] \)

\( \left\{\frac{x^2}{y^3}\right\} \)

Vejam que as chaves precisam ser escapadas.

Matrizes

Para criar matrizes, você precisa usar o ambiente array e fornecer, em um caractere, o alinhamento de cada coluna na matriz, assim como foi feito no ambiente tabular, no tutorial de tabelas. Usa-se & para separar colunas e \\ para finalizar linhas. Se você já viu o tutorial de tabelas, notará que há muitas semelhanças com o ambiente tabular:

\[
    A = \left(
        \begin{array}{cc}
            13 & 7 \\
            4  & 9
        \end{array}
    \right)
\]

Teoremas

O LaTeX tem um comando especial para definir tipos de teoremas: \newtheorem. Ele tem dois argumentos obrigatórios. O primeiro é o nome do ambiente para criar o teorema e o segundo é o nome que os teoremas desse tipo receberão. Exemplo:

\newtheorem{teorematrigonometria}{Teorema}

Exemplo de teorema:

\begin{teorematrigonometria}
    O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:

    \( c^2 = a^2 + b^2 \)
\end{teorematrigonometria}

Quando você cria teoremas, você pode fazer com que eles sigam a numeração de alguma outra estrutura, que pode ser, por exemplo, uma seção, um capítulo ou outro teorema. Apenas para demonstrar isso, será criado um novo tipo de teorema:

\newtheorem{teoremaaritmetica}{Teorema}

Também será criado um teorema, o Teorema fundamental da Aritmética, com esse novo tipo:

\begin{teoremaaritmetica}
    O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser
    decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.
\end{teoremaaritmetica}

Perceba que, ao compilar, o segundo teorema tem a sua própria numeração. Para fazer com que ele siga a numeração de outro tipo de teorema, deve-se passar o tipo do teorema desejado como argumento opcional:

\newtheorem{teoremaaritmetica}[teorematrigonometria]{Teorema}

Se o objetivo for fazer com que o teorema siga a numeração de uma estrutura, como uma seção, deve-se passar o nome da estrutura:

\newtheorem{teoremaaritmetica}[section]{Teorema}

Índices e expoentes

Índices seguem o modelo: expressao_{indice}. Se o índice tem apenas uma letra, não é necessário colocar as chaves:

Índices: \(x_1 = 3 \) e \(x_{12} = 7 \)

Expoentes seguem o modelo: expressao^{indice}. Eles funcionam da mesma forma que os índices. Então, se o expoente tem apenas uma letra, não é necessário colocar as chaves.

Expoentes: \( x^2 \) e \( x^{3y} \)

Dá pra aninhar tanto índices, quanto expoentes:

Aninhando índices e expoentes: \(x_{1_2} = 7 \), \(x^2_{1_2} = 7 \) e \(x^{y^2}\)

Raízes

Para usar raízes, basta usar o comando \sqrt passando o radicando como argumento obrigatório, e, opcionalmente, o índice (se o índice não for especificado, será usado o índice 2):

Raízes: \(\sqrt{9} = 3\) e \(\sqrt[3]{8} = 2\)

Também dá para aninhar raízes:

\(\sqrt[3]{\sqrt{64}} = 2\)

Frações

Para colocar frações, o comando é o \frac, que tem como argumentos obrigatórios, respectivamente, o numerador e o denominador da fração.

Frações: \(\frac{x + y^2}{3} \) e \(\frac{x + 4}{2}\)

Também dá para aninhar frações:

\(\frac{\frac{2}{5} + 2}{2}\)

Se você colocar a última fração em um documento e compilar, verá que a fração \(\frac{2}{5}\) ficará muito pequena, porque os parênteses são usados para expressões inline. Por isso, é melhor imprimir essa fração de forma destacada, o que aumenta bastante o tamanho dela. Isso pode ser feito substituindo os parênteses pelos colchetes, que são usados para expressões destacadas:

\[
    \frac{\frac{2}{5} + 2}{2}
\]

\[
    \frac{x + 4}{2}
\]

Fontes matemáticas

Às vezes, você pode precisar incluir texto em uma expressão matemática, ou formatar um símbolo com uma fonte diferente. Há comandos de fontes específicos para o modo matemático que você pode usar para isso:

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{bbm}
\usepackage{booktabs}
...    
Comandos de fontes específicos para o modo matemático:

\begin{center}
    \begin{tabular}{ll}
        \toprule[1.5pt]
        Fonte & Exemplo \\
        \midrule[0.5pt]
        \verb|\mathrm| & \(\mathrm{texto}\) \\
        \verb|\mathit| & \(\mathit{texto}\) \\
        \verb|\mathsf| & \(\mathsf{texto}\) \\
        \verb|\mathbb| & \(\mathbb{A}\) \\
        \verb|\mathbbm| & \(\mathbbm{R}\), \(\mathbbm{I}\),
        \(\mathbbm{N}\) e \(\mathbbm{Q}\) \\
        \verb|\mathnormal| & \(\mathnormal{texto}\) \\
        \bottomrule[1.5pt]
    \end{tabular}
\end{center}

O pacote booktabs foi incluído apenas para traçar linhas usando comandos como o \toprule. Note que também foi necessário usar os pacotes amsfonts e bbm. Porém, você pode não ter o pacote bbm instalado. Se você estiver no Ubuntu, rode o comando abaixo para instalar esse pacote:

sudo apt-get install texlive-fonts-extra

Se você estiver no Windows, usando o MikTeX, é só instalar os pacotes que forem solicitados.

Gather e align

O pacote amsmath adiciona muitas funcionalidades matemáticas ao LaTeX que ele não suporta nativamente. Uma delas é o fornecimento de ambientes para formatar expressões matemáticas que ocupam mais de uma linha. Há vários, mas serão abordados nesse tutorial somente o gather e o align. A diferença entre eles é que o align permite alinhar expressões em um caractere qualquer. Ambos usam \\ para terminar uma linha de uma expressão. Veja como é representado um sistema de equações nos dois:

Sistemas de equações usando ``gather'' e ``align'':

\begin{gather}
    2x + 3y = 16 \\
    x - y = 3
\end{gather}

\begin{align}
    2x + 3y &= 16 \\
    x - y &= 3
\end{align}

Se você compilar o documento, verá que as equações do segundo sistema ficaram alinhadas no sinal de igual. No ambiente align, dá para fazer isso apenas precedendo o caractere que se quer usar no alinhamento com &. Automaticamente, as linhas serão alinhadas nesse caractere.

Pode ser que você não queira a numeração que é atribuída automaticamente em alguma das equações. Para retirá-la, basta usar o comando \notag antes de usar o comando \\ para passar para a próxima linha. Para retirar a numeração de todas as equações de um align ou gather, basta colocar um asterisco na frente do nome desses ambientes.

\begin{gather*}
    2x + 3y = 16 \\
    x - y = 3
\end{gather*}

\begin{align}
    2x + 3y &= 16\notag \\
    x - y &= 3
\end{align}